قانون مساحة وحجم الأسطوانة

قانون مساحة وحجم الأسطوانة

الأسطوانة هي عبارة عن التفاف مستطيل حول ضلع من أضلاعه وهو يعد جوانب الأسطوانة، كما تتكون من قاعدتين دائرتين متساويين، الأسطوانة لها مساحة كلية و جانبية ولها حجم،وفيما يلي في معلومة سوف نناقش قانون مساحة وحجم الأسطوانة. 

قانون مساحة وحجم الأسطوانة

نحتاج إلى معرفة بعض المصطلحات لحساب مساحة وحجم الأسطوانة ومنها:

  • الارتفاع: وهو يشير إلى العمود الموجود بين القاعدة الدائرية السفلية والعلوية ويمكن الإشارة إليه بالرمز (ع)
  • نصف القطر: وهو نصف القطر لأحد القاعدين الدائرتين  الموجودين في الأسطوانة، ويمكن الإشارة إليه بالرمز (نق).
  • باي:  وهو عدد ثابت القيمة قيمته ٧/٢٢ أو بالتقريب يساوي، ٣,١٤، ويمكن الإشارة إليه بالرمز (π). 

مساحة الاسطوانة

تنقسم مساحة الأسطوانة إلى مساحة جانبية ومساحة كلية ولحساب كلاً من المساحتين يتم اتباع القوانين الآتية:

المساحة الجانبية للأسطوانة:

  • يقصد بالمساحة الجانبية المساحة الكلية للأسطوانة بدون مساحة القاعدتين. 
  • الأسطوانة هي عبارة عن مستطيل ملتف حول القاعدتين، لذلك فإن المساحة الجانبية هي مساحة المستطيل ويمكن حسابها باستخدام القانون: مساحة المستطيل = طول المستطيل× عرض المستطيل. 
    • وفي تلك الحالة عرض المستطيل هو الارتفاع للأسطوانة. 
    • طول المستطيل هو محيط القاعدة الدائرية، ويمكن حسابه من القانون: محيط القاعدة الدائرية= ٢×π× نق القاعدة. 
  • ومن ذلك يكون قانون حساب المساحة الجانبية للأسطوانة هو:

المساحة الجانبية للأسطوانة = (( ٢×π× نصف قطر القاعدة) × الارتفاع). 

  • القانون بالرموز: مساحة الأسطوانة الجانبية =( ٢×π×نق×ع).ش

المساحة الكلية للأسطوانة

قانون مساحة وحجم الأسطوانة

  • الأسطوانة هي عبارة عن مستطيل ملتف وقاعدتين دائرتين، لذلك تكون المساحة الكلية للأسطوانة هي مساحة المستطيل و مساحة القاعدتين الدائرتين، أي أن المساحة الكلية هي مجموع المساحة الجانبية للأسطوانة و مساحة القاعدتين. 
  • يمكن حساب المساحة الكلية للأسطوانة من القانون: مساحة الأسطوانة الكلية= مساحة الأسطوانة الجانبية + مساحة القاعدة الدائرية العلوية+ مساحة القاعدة السفلية. 
  • مساحة الاسطوانة الكلية= π× نق² + π× نق² + ٢× π×نق ×ع = ٢× π× نق²+ ٢× π×نق ×ع، يمكن أخذ (٢×π×نق) كعامل مشترك، فإن المساحة الكلية للاسطوانة =٢× π× نصف قطر الأسطوانة×(نصف قطر الأسطوانة+ ارتفاع الأسطوانة). 
  • القانون بالرموز: المساحة الكلية للأسطوانة = ٢×π × نق×(نق+ع).

كيف أحسب مساحة الأسطوانة

 يمكن حساب مساحة الأسطوانة عن طريق تطبيق قوانين المساحة، وسوف نعرض بعض الأمثلة لتوضيح كيفية حساب مساحة الأسطوانة، ومنها؛

المثال الأول:

ما هي المساحة الجانبية للأسطوانة التي قطرها ٢٠ سم، وارتفاعها ٩ سم؟ 

الحل:

 لحساب مساحة الأسطوانة الجانبية، يجب معرفة نصف القطر. 

يمكن حساب نصف القطر من: نصف القطر= طول القطر/٢ = ٢/٢٠ = ١٠سم.

بالتعويض المباشر في قانون المساحة الجانبية:

المساحة الجانبية للأسطوانة = ٢×π×نق×ع،

المساحة الجانبية للأسطوانة =٢× ٣,١٤ × ١٠×٩ = ٥٦٥,٤ سم ٢

المثال الثاني: 

أسطوانة نصف قطرها ٦ سم، وارتفاعها ١٠ سم، فما هي مساحتها الجانبية؟. 

الحل:

بالتطبيق المباشر لقانون مساحة الأسطوانة الجانبية: مساحة الأسطوانة الجانبية = ٢×π×نق×ع = ٢× ٣,١٤ × ٦ × ١٠ = ٣٧٦,٩٩ سم ٢

حجم الأسطوانة

قانون مساحة وحجم الأسطوانة

  • يقصد بحجم الأسطوانة هو كمية المادة الموجودة داخل الأسطوانة. 
  • قد يمكن أن يعبر عن حجم الأسطوانة بأنه السعة اللازمة لملء الاسطوانة. 
  •  يتم حساب حجم الاسطوانة عن طريق تطبيق القانون الآتي:

حجم الاسطوانة= مساحة القاعدة × الارتفاع. 

  • القانون بالرموز:  π × نق٢× ع. 

حيث تشير الرموز إلى:  

  • نق: وهو نصف قطر القاعدة. 
  • (π):  وهو عدد ثابت القيمة قيمته ٧/٢٢ أو بالتقريب يساوي، ٣,١٤.
  • ع: وهو ارتفاع الأسطوانة. 

أمثلة توضيحية لحساب حجم الأسطوانة

المثال الأول:

أسطوانة نصف قطرها ٣سم وارتفاعها ٦سم، فما هو حجمها؟. 

الحل:

بالتطبيق المباشر لقانون حجم الاسطوانة:

حجم الاسطوانة = π×نق٢×ع = ٣,١٤ × ٣ ٢×٦= ١٦٩,٦ سم³. 

المثال الثاني:

ما هي مساحة وحجم الأسطوانة التي نصف قطرها ٣سم وارتفاعها ٥ سم. 

الحل:

بالتطبيق المباشر لقانون المساحة والحجم نجد أن؛ 

  • مساحة الأسطوانة الكلية = ٢×π×نق×(نق+ع) = ٢×٣,١٤×٣× (٣+٥) = ١٥٠,٧٢م².
  • حجم الأسطوانة = π×نق٢×ع = ٣,١٤× ٣ ٢× ٥= ١٤١,٣م³.

المثال الثالث: 

ما هو حجم الاسطوانة التي قطرها ٦ سم وارتفاعها ٩ سم؟. 

الحل:

يتم حساب قيمة نصف قطر الأسطوانة = ٢/٦ =٣سم.

بالتطبيق المباشر لقانون حجم الاسطوانة:

حجم الأسطوانة = π×نق٢×ع= ٣,١٤× ٢٣× ٩ = ٢٥٤,٣٤سم³.

عن الكاتب

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *